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run test - 連検定

概要

  • 数列の並び方の無作為規則性=無規則性・偶然性の検証を行う検定法
  • 2値データを用いて検定する
  • 2値以外のデータは、基準値未満と以上とで2値に変換
  • 基準値には中央値が用いられることが多い

考え方

アイディア

  1. 無作為であれば、理論的には中央値以上の値Aも、中央値未満の値Bも1/2の確率でサンプリングされるはず。
  2. AもBも連続しすぎるのも、入れ替わりすぎるのもおかしい。
  3. よって、AやBが連続する程度に着目することで、無作為性を検証する。

具体的な手法

  • AまたはBの一続きのまとまりを連(run)といい、その連に含まれる記号の個数を連の長さと言う。
  • A・Bが連続しすぎると、連の長さが長くなり、連の数が少なくなる。
  • 逆に入れ替わりすぎると連の長さが短くなり、連の数が多くなる。
  • よって、「AやBが連続する程度」は、連の数によって捉えることができる。

検定の仮説

帰無仮説 : 「AとBの並び方は無作為である」 対立仮説 : 「AとBの並び方は無作為ではない」

記号の数を \(n\), Aの数を\(n_{1}\), Bの数を\(n_{2}\), 連の数を\(K\)とする。

例 : 以下の場合、\(n_{1}=13\), \(n_{2}=9\), \(K=9\) となる。

AAA BB AA BBB AAAAA BBB A B AA

帰無仮説のもとでnが十分に大きい場合、\(K\)は平均値\(\mu_{K}\), 分散\({\sigma_{K}}^{2}\)の正規分布に従う。 したがって、確率変数\(Z\)を用いて検定を行うことができる。

平均値

\[ \mu_{K} = \frac{2n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}+1 \]

分散

\[ {\sigma_{K}} = \frac{2n_{1}n_{2}(2n_{1}n_{2}-n_{1}-n_{2})}{(n_{1}+n_{2})^2(n_{1}+n_{1}-1)} \]

確率変数

\[ Z = \frac{K-\mu_{K}}{\sqrt{\sigma_{K}}} \]

帰無仮説「AとBの並び方は無作為である」に対して、検定を行い、その結果が有意でなかったとする。すなわち、帰無仮説「AとBの並び方は無作為である」が正しい時に誤って棄却してします確率が低かった (p値が有意水準よりも小さかった) とする。この場合、立てた帰無仮説は棄却されず、無作為であったと言うことができる。

Reference